উত্তর: ক) কোন বাইনারি সংখ্যার বিটগুলোকে 1 এর পরিবর্তে 0 এবং 0 এর পরিবর্তে 1 বসিয়ে তার সাথে 1 যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তাকে ঐ সংখ্যার 2 এর পরিপূরক বলে।

খ) বাইনারি যোগের ক্ষেত্রে 1+1 ব্যবহৃত হয়। এক্ষেত্রে 1+1= 0 এবং ক্যারি 1 হয়। বুলিয়ান যোগের ক্ষেত্রে 1+1=1 হয়। এতে বুঝা যাচ্ছে যে, বুলিয়ান যোগ (+) চিহ্ন সাধারণ চিহ্নকে বুঝায় না। বুলিয়ান যোগকে বলা হয় Logical Addition অথবা Logical OR operation। এ থেকে বুঝা যায় যে, বাইনারি 1+1 ও বুলিয়ান 1+1 এক নয়।

গ) উদ্দীপক অনুসারে y এর সরলীকৃত মান নিচে নির্ণয় করা হলো-



ঘ) উদ্দীপকের 2 ও 3 নম্বর চিহ্নিত গেট দু'টির পারস্পরিক পরিবর্তনে যে লজিক সার্কিক পাওয়া যায় সেটি হলো-


অতএব উদ্দীপকে 2 ও 3 নম্বর চিহ্নিত গেট দু'টির পারস্পরিক পরিবর্তনে XOR গেট পাওয়া যায়। অ্যাডারের মাধ্যমে বাইনারি যোগ করা হয়। অ্যাডারে XOR গেইট এবং AND গেইট ব্যবহার করা হয়। এ থেকে বলা যায় যে, উদ্দীপকের 2 ও 3 নম্বর চিহ্নিত গেট দুটির পারস্পরিক পরিবর্তনে পাওয়া XOR গেইটটি বাইনারি যোগের বর্তনীতে ব্যবহার উপযোগী।

উত্তর: ক) কম্পিউটার সিস্টেমে ব্যবহৃত প্রতিটি বর্ণ, সংখ্যা বা বিশেষ চিহ্নকে আলাদাভাবে সিপিইউকে বোঝানোর জন্য বিটের (0 বা 1) বিভিন্ন বিন্যাসের সাহায্যে অদ্বিতীয় (Unique) সংকেত তৈরি করা হয়। এই অদ্বিতীয় সংকেতকে কোড বলা হয়।

খ) 2-এর পরিপূরক গঠনের প্রধান কারণটি হলো সাইন বিট দিয়ে সংখ্যার পজিটিভ এবং নেগেটিভ প্রকাশ করার জটিলতা থেকে রক্ষা পাওয়া। সাইন বিট দিয়ে সংখ্যাকে পজিটিভ বা নেগেটিভ হিসেবে প্রকাশ করার ক্ষেত্রে সংখ্যার বিটসংখ্যা সবসময় পরিপূর্ণ রাখতে হয়। এবং এর মাঝে ফাঁকা অংশ রাখা যায় না। ০ (শূন্য) সংখ্যাটি পজিটিভ ও নেগেটিভ না হলেও সাইন বিট পদ্ধতিতে +০ এবং -0 হয়। তাই সাইন বিট দিয়ে সংখ্যার পজিটিভ এবং নেগেটিভ প্রকাশ করার জটিলতা থেকে রক্ষা পাওয়ার জন্য ২-এর পরিপূরক গঠন করা হয়।

গ) উদ্দীপকে "Z" এর ক্রয়কৃত বইয়ের মূল্য নিচে ডেসিম্যাল পদ্ধতিতে নির্ণয় করা হলো-

উত্তর: ক) বাইনারি যোগের জন্য যে বর্তনী ব্যবহৃত হয় তাকে অ্যাডার বলে।

খ) M(M+M)
= M.M [‘.’ অপরিবর্তনীয় উপপাদ্য A+A=A]
= M [অপরিবর্তনীয় উপপাদ্য A. A = A]
সুতরাং, M (M + M) = M

গ) চিত্র-১ এর লজিক সার্কিট হতে পাই,


ঘ) চিত্র-২ এর প্রতিনিধিত্বকারী গেট হলো NOR গেট। NOR গেট দিয়ে চিত্র-১ এর সমতুল্য গেট নিচে বাস্তবায়ন করে দেখানো হলো-

অর্থাৎ চিত্র-২ এর প্রতিনিধিত্বকারী গেট দিয়ে চিত্র-১ এর সমতুল্য সার্কিট ব্যস্তবায়ন করা সম্ভব।

উত্তর: ক) ডিকোডার হচ্ছে এক ধরনের সমবায় ডিজিটাল বর্তনী যা কম্পিউটারে ব্যবহৃত যান্ত্রিক ভাষাকে মানুষের বোধগম্য ভাষায় রূপান্তরিত করে।

খ) বাইনারি ডেটাকে 1 বিট ডানে বা বামে বা উভয় দিকে সরানোর জন্য শিফট রেজিস্টার ব্যবহৃত হয়। শিফট রেজিস্টারে কতগুলো ফ্লিপফ্লপ চেইন আকারে যুক্ত থাকে। একটি ফ্লিপ ফ্লপের আউটপুট অন্যটির ইনপুটের সাথে সংযুক্ত করে প্রতি ক্লক পালসে এক ফ্লিপ ফ্লপ এর সিগন্যাল অন্য ফ্লিপ ফ্লপে পাঠানো শিফট রেজিস্টারের বৈশিষ্ট্য।

গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত আইসিটি শিক্ষক ক্লাসে ছাত্রদের বললেন যে, কম্পিউটার A কে সরাসরি বুঝতে পারে না, বরং একে একটি লজিক সার্কিটের সাহায্যে ৮ বিটের বিশেষ সংকেতে রূপান্তর করে বুঝে থাকে। এই পদ্ধতিটি হলো এনকোডার। অর্থাৎ মানুষের ভাষাকে কম্পিউটারের বোধগম্য ভাষায় রূপান্তর করাই হলো এনকোডারের কাজ। নিচে এনকোডারের কাজের ধারা ব্যাখ্যা করা হলো-

ধরা যাক ৭ মানুষের ভাষাকে যান্ত্রিক ভাষায় রূপান্তর করতে হবে। তাহলে আউটপুটে 7 বুঝাতে হলে এর বাইনারি 111 অর্থাৎ ৩ টি বিট দরকার অতএব আউটপুট (n) হবে ৩ টি লাইন এবং ইনপুট হবে (2ⁿ=8) ৮টি লাইন ।

এই ইনপুট লাইনগুলোর যে কোনো একটিকে সিগন্যাল দিয়ে (1) উজ্জীবিত করা হয়। যখন একটি লাইন অন(1) করা হয় তখন অন্যগুলো অফ(0) থাকে। এই হিসাবে সত্যকসারণীর ইনপুটটি পূরণ করা হয় যেটি ডেসিমেল 0-7 কে বুঝায়। অন্যদিকে আউটপুট D₀ থেকে D₂ লাইনে ইনপুটের বাইনারি মান বসানো হয়। এবার আমরা সত্যকসারণী অনুযায়ী লজিক সার্কিটটি তৈরি করি। আউটপুট D₂ এর সকল উজ্জীবিত লাইনগুলোকে যোগ করতে অর গেইট ব্যবহার করি। অর্থাৎ D₂=A₄+A₅+A₆+A₇ অনুরূপভাবে আউটপুট D₁ এবং D₀ ও যোগ করে দেখতে পাই যখন A₁ লাইনটি অন করা হয়েছে তখন D₀ লাইনটি উজ্জীবিত (অন) হয়েছে, অনুরূপভাবে A₃ লাইনটি অন করা হলে D₀ এবং D₁ লাইনটি উজ্জীবিত হবে। বা A₇ লাইনটি অন করা হলে D₀ এবং D₁ এবং D₂ লাইন তিনটিই উজ্জীবিত হবে অর্থাৎ তিনটা 111 পাওয়া যাবে যেটার দ্বারা কম্পিউটার বুঝতে পারবে যে 7 ইনপুট দেওয়া হয়েছে। এভাবে খুব সহজেই আমরা ৮ ইনপুট ও ৩ আউটপুটের এনকোডারের সার্কিটটি তৈরি করতে পারি।

ঘ) উদ্দীপকের সংকেতায়ন পদ্ধতিদ্বয়ের মধ্যে ১ম সংকেতায়ন হচ্ছে অ্যাসকি (ASCII) কোড এবং ২য় সংকেতায়ন হচ্ছে ইউনিকোড (Unicode)। এনকোডারের সাহায্যে যেকোনো আলফা নিউমেরিক বর্ণকে ASCII কোডে পরিণত করা যায়। ASCII কোড কম্পিউটার এবং ইনপুট/আউটপুট এর জন্য ব্যবহৃত যন্ত্র যেমন কী-বোর্ড, মাউস, মনিটর, প্রিন্টার ইত্যাদির মধ্যে আলফা নিউমেরিক তথ্য আদান প্রদানে ব্যবহৃত হয় ASCII কোডের মাধ্যমে ২^৮ বা ২৫৬ টি অদ্বিতীয় চিহ্নকে নির্দিষ্ট করে। ASCII কোড শুধুমাত্র আমেরিকান ইংলিশ বর্ণ চিহ্নের এনকোডের জন্য ব্যবহৃত হয় যা অন্য কোনো ভাষায় সংগৃহীত হয় না।

অপরদিকে Unicode হলো সকল ভাষাকে কম্পিউটারে কোডভুক্ত করে। Unicode এর মাধ্যমে ২^১৬ বা ৬৫৫৩৬টি অদ্বিতীয় চিহ্নকে নির্দিষ্ট করা যায়।

ক্যারেক্টারকে কোড করার জন্য ১৬ বিট-ই ব্যবহার করা হয়। ইউনিকোডের সাহায্যে বাংলাসহ বিশ্বের শত ভাষার হাজার বর্ণ, চিহ্নের ব্যবহার করা যায়। ইউনিকোড থেকে অন্যান্য স্ট্যান্ডার্ড কোডে পরিবর্তন করা যায়। সুতরাং উপরিউক্ত আলোচনা - হতে বলা যায় উদ্দীপকের সংকেতায়ন পদ্ধতিদ্বয়ের মধ্যে ASCII কোডের তুলনায় ইউনিকোড সুবিধাজনক।

উত্তর: ক) কাউন্টার হলো এমন একটি সিকুয়েন্সিয়াল সার্কিট যা এতে দেওয়া ইনপুট পালসের সংখ্যা গুণতে পারে।

খ) নর গেটের সকল ইনপুট একই হলে গেটটি NOT গেট হিসেবে কাজ করবে। নিচে তা ব্যাখ্যা করা হলো-

এখানে দুটি NOR গেটের মান একই হওয়ায় এটি একটি মৌলিক গেট NOT হিসেবে কাজ করছে।

গ) Y এর লজিক সার্কিট:


ঘ) X এর লজিক সার্কিটঃ


অর্থাৎ X-এর সরলীকৃত মান NOR গেটের সাহায্যে বাস্তবায়ন সম্ভব ও সুবিধাজনক।

(i) উত্তর: ইউসুফের প্রাপ্ত নম্বর (53)₁₆ যা হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে এবং আফিয়ার প্রাপ্ত নম্বর (1011100)₂ যা বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে।

ইউসুফের প্রাপ্ত নম্বর ডেসিমেলে রূপান্তর:
(53)₁₆
=5 × (16)¹ + 3 × (16)⁰
=80+3
=(83)₁₀

আফিয়ার প্রাপ্ত নম্বর ডেসিমেলে রূপান্তর:
(1011100)₂
=1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰
=64+0+16+8+4+0+0
=(92)₁₀
সুতরাং, ইউসুফ ও আফিয়ার প্রাপ্ত নম্বর (83)₁₀, এবং (92)₁₀।

(ii) আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর (127)₈ যা অক্টাল পদ্ধতিতে দেওয়া আছে।

(127)₈ = (1010111)₂

খাদিজার প্রাপ্ত নম্বর (5F)₁₆ যা হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে।

.’. আবদুল্লাহ ও খাদিজার প্রাপ্ত নম্বরের পার্থক্য বাইনারিতে (1000)₂

(iii) (i) হতে পাই- ইউসুফ ও আফিয়ার প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে (83)₁₀ , ও (92)₁₀
আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর (127)₈
(127)₈
=1×8² 2×8¹ + 7×8⁰
=64+16+7
=(87)₁₀

খাদিজার প্রাপ্ত নম্বর (5F)₁₆
(5F)₁₆
=5×16¹ + 15×16⁰
=(95)₁₀
এখানে, (95)₁₀ > (92)₁₀ > (87)₁₀ >(83)₁₀
সুতরাং, খাদিজা বেশি নম্বর পেয়েছে।

(iv) ইউসুফের প্রাপ্ত নম্বর (53)₁₆ , যা হেক্সাডেসিমেলে দেওয়া।


আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর (127)₈ , যা অক্টাল পদ্ধতিতে দেওয়া আছে।

সুতরাং, ইউসুফ ও আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর বাইনারিতে (1010011)₂ এবং (1010111)₂

খাদিজার প্রাপ্ত নম্বর (5F)₁₆ যা হেক্সাডেসিমেলে দেওয়া।
(iii) হতে পাই, (5F)₁₆ = (95)₁₀
খাদিজার প্রাপ্ত নম্বর অক্টালে রূপান্তর:

সুতরাং, খাদিজার প্রাপ্ত নম্বর দশমিকে (95)₁₀ এবং অক্টালে (137)₈

(vi) ইউসুফের প্রাপ্ত নম্বর (53)₁₆ এবং আফিয়ার প্রাপ্ত নম্বর (1011100)₂
ইউসুফের প্রাপ্ত নম্বর অক্টালে রূপান্তর:

আফিয়ার প্রাপ্ত নম্বর অক্টালে রূপান্তর:

সুতরাং, ইউসুফ ও আফিয়ার নম্বরের পার্থক্য (11)₈

(Vii) আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর (127)₈ এবং খাদিজার প্রাপ্ত নম্বর (5F)₁₆


(viii) ইউসুফ ও আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে (53)₁₆ এবং, (127)₈
আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর:


হেক্সাডেসিমেলে পার্থক্য নির্ণয়:
(57)₁₆ >(53)₁₆
(57-53) = 04
সুতরাং, তাদের নম্বরের পার্থক্য হেক্সাডেসিমেলে (4)₁₆

(iv) হতে পাই, (53)₁₆ =(1010011)₂

(ii) হতে পাই, (127)₈ =(1010111)₂
বাইনারিতে পার্থক্য নির্ণয়:


(ix) “যোগের মাধ্যমে ইউসুফ ও আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বরের পার্থক্য নির্ণয় করা সম্ভব’’- উক্তিটি ২-এর পরিপূরক যোগের ক্ষেত্রে সত্য।
ইউসুফ ও আবদুল্লাহর প্রাপ্ত নম্বর (53)₁₆ এবং (127)₈
(iv) হতে পাই, (53)₁₆ = (1010011)₂
(ii) হতে পাই, (127)₈ = (1010111)₂
এখানে,
(1010111)₂ > (1010011)₂
বা, (127)₈ > (53)₁₆
.’. (127)₈ - (53)₁₆ [ পার্থক্য নির্ণেয়ের ক্ষেত্রে ]
= (127)₈ + (-53)₁₆ [নিগেশন করে পাই]


এখানে, ক্যারি বিট অতিরিক্ত 1 যা গ্রহণযোগ্য নয়। সুতরাং, তাদের নম্বরের পার্থক্য (100)₂ বা (4)₁₀ এবং আবদুল্লাহ ইউসুফের চেয়ে 4 নম্বর বেশী পেয়েছে।

(x) উদ্দীপকের আফিয়া এবং খাদিজার প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে
(1011100)₂ এবং (5F)₁₆
(ii) হতে পাই, (5F)₁₆ = (1011111)₂
(1011111)₂ > (1011100)₂
এখানে,

এখানে, ক্যারি বিট অতিরিক্ত 1 যা গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, ফলাফল (00000011)₂ =(3)₁₀
সুতরাং, আফিয়া ও খাদিজার প্রাপ্ত নম্বরের পার্থক্য (3)₁₀ অর্থাৎ খাদিজা আফিয়ার চেয়ে বেশি নম্বর পেয়েছে।

উত্তর: (ক) (i) চিত্র-১ X-NOR gate এর সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। যে ডিজিটাল ইলেকট্রনিক সার্কিটে দুই বা ততোধিক ইনপুট দিয়ে একটি মাত্র আউটপুট পাওয়া যায় এবং বিজোড় সংখ্যক 1 ইনপুট এর জন্য আউটপুট 0 ও জোড় সংখ্যক 1 ইনপুট এর জন্য আউটপুট 1 হবে তাকে X-NOR gate বলে। এটি একটি সমন্বিত গেট। X-NOR gate মৌলিক গেট দিয়ে তৈরী করা যায়।
নিচে X-NOR gate এর সত্যক সারণিসহ লজিক গেট দেখানো হলো


(ii) চিত্র-১ এর সত্যক সারণিটি হলো X-NOR গেটের। ২ ইনপুট বিশিষ্ট X-NOR গেট হলো:


2 ইনপুট বিশিষ্ট X-NOR গেটকে মৌলিক গেটের সাহায্যে প্রকাশের জন্য ২টি NOT গেট, ২টি AND গেট এবং ১টি OR গেট প্রয়োজন।

(iii) চিত্র-১ এর গেটটি হলো X-NOR গেট, যা সার্বজনীন গেট তথা NAND এবং NOR গেট দিয়ে বাস্তবায়ন করা সম্ভব।
NAND গেটের সাহায্যে বাস্তবায়ন:
X-NOR গেটের আউটপুট ফাংশন:


NOR গেটের সাহায্যে বাস্তবায়ন:
X-NOR গেটের আউটপুট ফাংশন:




(iv) চিত্র-২ হতে আউটপুট Y এর জন্য লজিক গেট:

অর্থাৎ, A, B তে ইনপুট যাই দেওয়া হোক না কেন, আউটপুট সবসময় ১ আসবে।

সুতরাং, সত্যক সারণি হতেও দেখা যাচ্ছে, ইনপুট যাই দেওয়া হোক না কেন প্রতিবারে আউটপুট 1 আসছে।

(v) চিত্র-২ হতে আউটপুট F এর জন্য লজিক গেট-


সুতরাং, নতুন লজিক গেটে শুধুমাত্র A এবং C ইনপুট হিসেবে এবং ১টি AND গেট ব্যবহার করেই F এর আউটপুট পাওয়া সম্ভব।

(vi) চিত্র-২ এ 2 নং চিহ্নিত গেট হলো NAND গেট এবং 3 নং চিহ্নিত গেট হলো OR গেট। চিত্রের 2 ও 3 নং গেটদ্বয়ের পারস্পরিক পরিবর্তনে যে লজিক গেট পাওয়া যায় তা নিচে আঁকা হলো।

সুতরাং, লজিক গেটটির আউটপুট X-OR গেটের ন্যায় হওয়ায় সত্যক সারণিও X-OR গেটের ন্যায় হবে।

নিচে Y-কে NAND এবং NOR গেটের সাহায্যে বাস্তবায়ন করা হলো:

NAND এর সাহায্যে বাস্তবায়ন:




(viii) চিত্র-৪ এর ডিভাইসটি হলো একটি ফুল অ্যাডার। ফুল অ্যাডারের ২টি আউটপুট হয়। একটি যোগফল এবং একটি ক্যারি। আউটপুর দুইটির লজিক ফাংশন:



নিম্নে মৌলিক গেটের সাহায্যে ফুল অ্যাডার বাস্তবায়ন করা হলো।


(ix) চিত্র-৩ এর ডিভাইসটি হলো ডিকোডার। কারণ, ডিকোডারে N সংখ্যক ইনপুট এর জন্য 2N সংখ্যক আউটপুট পাওয়া যায়। নিচে 2 to 4 ডিকোডারের গঠন আলোচনা করা হলো। 2 to 4 ডিকোডারের ডিজিটাল লজিক সার্কিটে 2 সংখ্যক ইনপুটের জন্য 4 টি আউটপুট লাইন পাওয়া যায়। যেকোনো একটি আউটপুট লাইনের মান 1 হলে বাকি সব কয়টি আউটপুট লাইনের মান 0 হবে। কখন কোন আউটপুট লাইনের মান 1 হবে তা নির্ভর করে ইনপুটগুলোর মানের উপর। 2 to 4 লাইন ডিকোডারের সত্যক সারণি হলো-

সত্যক সারণি হতে আউটপুটের জন্য লজিক ফাংশন-

উক্ত ফাংশন হতে বাস্তবায়িত লজিক সার্কিট:




(xi) চিত্র-৩ এর ডিভাইসে ইনপুট 4 টি এবং আউটপুট 2 টি হলে যে নতুন জিভাইস পাওয়া যাবে তা হলো একটি 4 to 2 এনকোডার। কারণ, এনকোডার ডিভাইসে 2N সংখ্যক ইনপুটের জন্য N সংখ্যক আউটপুট দেখায়। নিচে এনকোডার ডিভাইসটির সত্যক সারণি থেকে লজিক গেট অংকন করে দেখানো হলো।









সুতরাং, 'vi' নং প্রশ্নে প্রাপ্ত গেটটি বাইনারি যোগের বর্তনীতে ব্যবহার উপযোগী।

(xiii) চিত্র-২ এর 2 নং গেটটি হলো NAND, যা একটি সার্বজনীন গেট। তাই NAND গেট দ্বারা মৌলিক গেটগুলো বাস্তবায়ন করা সম্ভব। নিচে মৌলিক 3 টি গেটকে NAND দ্বারা বাস্তবায়িত করা হলো:

(1) NOT গেট বাস্তবায়ন:
NAND গেটের মধ্যে দিয়ে একই ইনপুট চালনা করলে NOT গেটের আউটপুট পাওয়া যায়।



(2) OR গেট বাস্তবায়ন:
দুইটি চলক A ও B কে পৃথকভাবে NAND গেটের মধ্য দিয়ে চালনা করলে যে আউটপুট পাওয়া যায়, তাদের ইনপুট আকারে আরেকটি NAND গেটের মধ্য দিয়ে চালনা করলে OR গেটের আউটপুট পাওয়া যায়।।



(3) AND গেট বাস্তবায়ন:
একটি NAND গেটের মধ্য দিয়ে দুটি পৃথক ইনপুট চালনা করলে যে আউটপুট পাওয়া যায় তাকে আরেকটি NAND গেটের মধ্য দিয়ে একই ইনপুট আকারে চালনা করলে AND গেটের আউটপুট পাওয়া যায়।



(xiv) চিত্র-৪ এ একটি ইনপুট কম হলে যে ডিভাইসটি পাওয়া যায় তা হলো একটি Half adder এবং পূর্বের ডিভাইসটি হলো একটি Full adder। Half adder এর সাহায্যে Full adder ব্যস্তবায়ন সম্ভব। ২টি Half adder এর সাহায্যে ১টি Full adder তৈরী করা যায়।

উত্তর: ক) ASCII (American Standard Code for Information Interchange) হলো একটি 7/8 বিটের আলফানিউমেরিক কোড যা কম্পিউটার ও ইনপুট/আউটপুট ডিভাইসের মধ্যে তথ্য স্থানান্তরে ব্যবহৃত হয়।

খ) কোডেড ডেটাকে আনকোডেড ডেটায় রূপান্তর করা সম্ভব। কোডেড ডেটাকে আনকোডেড ডেটায় রূপান্তর করতে একটি ডিকোডার 'ডিভাইসের প্রয়োজন হয়। ডিকোডার এমন একটি ইলেকট্রনিক যন্ত্র বা ডিভাইস যা কম্পিউটারের বোধগম্য ভাষাকে মানুষের বোধগম্য ভাষায় রূপান্তর করে। ডিকোডারে ইনপুট সংখ্যা 1 হলে তার আউটপুট সংখ্যা = 2ⁿ হবে এবং আউটপুট লাইনে যে কোনো আউটপুট 1 হলে বাকি সব আউটপুট 0 পাওয়া যাবে। আউটপুট অবস্থা সবর্দা ইনপুট অবস্থার উপর নির্ভরশীল।

গ) রনি বইটি কিনেছিল = (৩৪৬)_৮ টাকার
অতএব, রনি বইটি দশমিক টাকায় কিনেছিল ৩×৮^২ + ৪×৮^১ + ৬×৮^০ = (২৩০)_১০ টাকার
আবার,
জনি বইটি কিনেছিল = (১০১১০১১০)_২ টাকার
সুতরাং জনি বইটি দশমিক বা ডেসিমেল টাকায় কিনেছিল। = (১০১১০১১০)_২ = (১ × ২^৭) + (০ × ২^৬) + (১ × ২^৫)
+ (১ × ২^৪) + (০ × ২^৩) + (১ × ২^২) + (১ × ২^১) + (০ × ২^০)
= (১৮২)_১০
অতএব জনি ও রনি মোট বই কিনেছিল (২৩০ + ১৮২) = (৪১২)_১০ টাকার।

ঘ) জনি বই কিনেছিল = (১০১১০১১০)২ = (১৮২)১০ ['গ' হতে]
রনি বই কিনেছিল = (৩৪৬)৮ = (২৩০)১০ ['গ' হতে]
অতএব, বাইনারী সংখ্যা পদ্ধতিতে রনির কেনা বই =

এখন রনির কেনা বই ছিল (২৩০)_১০ বা = (১১১০০১১০)_২ ,
জনির কেনা বই (১৮২)_১০ বা = (১০১১০১১০)_২
(২৩০ > ১৮২) রনি বেশি কিনেছিল
.’. (২৩০)_১০ – (১৮২)_১০ [ পার্থক্য নির্ণেয়ের ক্ষেত্রে ]
= (২৩০)_১০ + (–১৮২)_১০ [নিগেশন করে পাই]
.’. রনির কেনা বই (২৩০)_১০ বা ১১১০০১১০ = ২ এর পরিপূরক

প্রথম ১টি ক্যারি বিট বা ওভারফ্লো যা গ্রহণযোগ্য নয়। অর্থাৎ, রনি বেশি কিনেছিল = (০০১১০০০০)_২ বা (৪৮)_১০ টাকার বই।

উত্তর: ক) কাউন্টার হলো এমন একটি সিকুয়েন্সিয়াল সার্কিট যা এতে দেওয়া ইনপুট পালসের সংখ্যা গুণতে পারে।

খ) 'বাইনারি ও বিসিডি এক নয়" বক্তব্যটি সঠিক এবং তা একটি পার্থক্য ছকের মাধ্যমে তুলে ধরা হলো:


গ) উদ্দীপকে প্রদত্ত লজিক ফাংশনটি হচ্ছে,

নিম্নে ফাংশনটির সত্যক সারণিটি তৈরি করা হলো:


ঘ) F ফাংশনটিকে সরলীকরণ করা হলে আমরা পাবো,


এখন, উক্ত ফাংশনটিকে শুধু NAND গেইট দ্বারা বাস্তবায়ন করা হলো।

উত্তর: ক) কোন সংখ্যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক তা বুঝাতে সংখ্যার আগে যোগ/বিয়োগ (+/-) চিহ্ন যুক্ত করা হয়, এই সংখ্যা গুলোকেই চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বা সাইনড নম্বর বলে।

খ) সাধারণত অক্ষর (a - z, A - z), অঙ্ক (0 - 9) এবং বিভিন্ন গাণিতিক চিহ্নসহ আরও কতকগুলো বিশেষ চিহ্নের (!, @, #, $ ইত্যাদি) জন্য ব্যবহৃত কোডকে আলফা নিউমেরিক কোড বলা হয়। ASCII কোড হচ্ছে বিশেষ ভাবে তৈরি একটি ৭ বা ৮ বিটের কোড যেখানে প্রয়োজনীয় চিহ্ন, অক্ষর বা সংখ্যা যুক্ত করা সম্ভব, ফলে আমরা ASCII কে একটি আলফা নিউমেরিক কোড বলতে পারি।

গ) উদ্দীপক থেকে জানতে পারি, X-অর্ধ-বার্ষিক পরীক্ষায় মেধাক্রম ছিল (2F)₁₆ নিম্নে হেক্সাডেসিমেলে থাকা ক্রমটিকে বাইনারী ও অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করা হলো:

বাইনারীতে রূপান্তর: প্রথমে হেক্সাডেসিমেল সংখ্যাটিকে ডেসিমেলে রূপান্তর করে নিই,
(2F)₁₆ = (2×16¹) + (15×16⁰) = (47)₁₀ এখন ডেসিমেল সংখ্যাটিকে আমরা বাইনারীতে প্রকাশ করতে পারি,

তাহলে (2F)₁₆ এর বাইনারী = (101111)₂
অক্টালে রূপান্তর: উপরের সমাধান থেকে আমরা দেখেছি (2F)₁₆ = (47)₁₀ অতত্রব, (47)₁₀, অক্টালে রূপান্তর করলে পাই,


ঘ) উদ্দীপকের X-এর পরীক্ষা দুটির ফলাফলের পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় বলতে মূলত ২-এর পরিপূরকের মাধ্যমে নির্ণয়ের কথা বলা হয়েছে। অতএব, ‘গ’ হতে প্রাপ্ত 'X' এর অর্ধ-বার্ষিক পরীক্ষার মেধাক্রমের বাইনারী হচ্ছে (101111)₂ এবং বার্ষিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত মেধাক্রম হলো (14)₈। সুতরাং এর সমান বাইনারী সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য আগে ডেসিমেলে রূপান্তর করে পাই,
(14)₈ = (1×8¹) + (4×8⁰) = (12)₁₀
(12)₁₀ কে বাইনারি সংখ্যায় রূপান্তর করি-

এখন দুই পরীক্ষার ফলাফলের পার্থক্য ২ এর পরিপূরকের মাধ্যমে নির্ণয়ের জন্য দেখি-
অর্ধ-বার্ষিকের ফল (47)₁₀ বার্ষিকের ফল (12)₁₀
.’. (৪৭)_১০ – (১২)_১০ [ পার্থক্য নির্ণেয়ের ক্ষেত্রে ]
= (৪৭)_১০ + (–১২)_১০ [নিগেশন করে পাই]
.’. অর্ধ-বার্ষিকের (৪৭)_১০ বা 00101111 = ২ এর পরিপূরক (৮ বিট রেজিস্টারে)

প্রথম ১টি ক্যারি বিট বা ওভারফ্লো যা গ্রহণযোগ্য নয়। অর্থাৎ, দুই পরীক্ষার ফলাফলের পার্থক্য = (00100011)₂ বা (35)₁₀ ।

উত্তর: ক) এনকোডার হচ্ছে এক ধরনের সমন্বিত লজিক সার্কিট যা মানুষের ভাষাকে কম্পিউটারের বোধগম্য বা যান্ত্রিক ভাষায় রূপান্তর করে।

খ) ফরাসি গণিতবিদ ডি-মরগান বুলিয়ান বীজগণিতের ওপর দুটি প্রয়োজনীয় সূত্র দেন। সূত্র দুটিকে ডি-মরগ্যানের উপপাদ্য বলা হয়। উপপাদ্য দুটি সংজ্ঞায়িত করলেই বুঝা যাবে যে, উপপাদ্যদ্বয় যৌক্তিক যোগ ও গুণের মধ্যে বিনিময় সাধন করে, উপপাদ্যদ্বয় নিম্নরূপঃ
প্রথম উপপাদ্যঃ যেকোনো সংখ্যক চলকের যৌক্তিক যোগের কমপ্লিমেন্ট হলো প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক গুণফলের সমান।
দ্বিতীয় উপপাদ্যঃ যেকোনো সংখ্যক চলকের যৌক্তিক গুণফলের কমপ্লিমেন্ট হলো প্রত্যেক চলকের কমপ্লিমেন্টের যৌক্তিক যোগের সমান।

অর্থাৎ, সূত্র থেকেই দেখা যাচ্ছে, এখানে যৌক্তিক যোগে ও যৌক্তিক গুণফলের মধ্যে বিনিময় সাধিত হয়েছে।

গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত X এর জন্য লজিক সমীকরণটি নিচে নির্ণীত হলোঃ


ঘ) উদ্দীপকের উল্লিখিত বর্তনীটির ইনপুট ও প্রাপ্ত আউটপুট অপরিবর্তিত রেখে শুধু NAND লজিক গেইট দ্বারা বর্তনীটি প্রতিস্থাপন করা সম্ভব। নিম্নে তা লজিক সমীকরণের মাধ্যমে বিশ্লেষণ করা হলো।

উত্তর: ক) ক) পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতিতে কোনো সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশকে পৃথত করতে যে চিহ্ন ব্যবহার করা হয় তাকেই রেডিক্স বা র‍্যাডিক্স পয়েন্ট বলে।

খ) দশমিত সংখ্যা পদ্ধতিতে ৯ + ৭ এর যোগফল হয় ১৬। কিন্তু যদি যোগফল ১৬ কে অক্টাল পদ্ধতিতে রূপান্তর করা হয় তবে আমরা পাবো,

অর্থাৎ, দেখা যাচ্ছে, দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে, ৯ এবং ৭ যোগ করলে তাদের যোগফলের অক্টাল মান পাওয়া যাবে ২০।
অতএব, ৯+৭ = ২০ লেখা সম্ভব।

গ) উদ্দীপকে দেখা যাচ্ছে, স্যার যে নতুন সংখ্যা পদ্ধতিটি আবিষ্কার করেছে তাকে ০, ১, ২, ৩, ৪ মোট ৫টি সংখ্যা রয়েছে। অর্থাৎ, স্যারের আবিষ্কৃত সংখ্যাটির ভিত্তি হচ্ছে ৫। এখন (2FC)₁₆ সংখ্যাটিকে নতুন সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করতে প্রথমে একে দশমিকে রূপান্তর করে নেওয়া যাক।
(2FC)₁₆= (২×১৬^২) + (১৫×১৬^১) + (১২×১৬^০)
= (৭৬৪)_১০
এখন (৭৬৪)_১০ দশমিক সংখ্যাটি নতুন সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করি,

অতএব, (2FC)₁₆ সংখ্যাটিকে স্যারের নতুন সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করলে পাবো (১১০২৪)_৫।

(ঘ) উদ্দীপকে ছাত্রদের লেখা দুটি দশমিক সংখ্যা হলো ৬৩ এবং ৭০। উক্ত দশমিক সংখ্যা দুটির পার্থক্য যোগের মাধ্যমে তথা ২ এর পরিপূরকের ম্যাধমে নির্ণয় করতে হলে প্রথমে উভয় সংখ্যাকে বাইনারিতে রূপান্তর করতে হবে।
বাইনারিতে রূপান্তর:



যেহেতু (৭০) বা = (১০০০১১০)_২ (৬৩) বা =(১১১১১১)_২
.’. (৭০)_১০ – (৬৩)_১০ [ পার্থক্য নির্ণেয়ের ক্ষেত্রে ]
= (৭০)_১০ + (–৬৩)_১০ [নিগেশন করে পাই]
.’. (৭০)_১০ বা ০১০০০১১০ = ২ এর পরিপূরক (৮ বিট রেজিস্টারে)

প্রথম ১টি ক্যারি বিট বা ওভারফ্লো যা গ্রহণযোগ্য নয়। সুতরাং দশমিক, সংখ্যা দুটির পার্থক্য = (০০০০১১১১)_২ বা (৭)_১০ ।

উত্তর: ক) একটি কাউন্টার সর্বাধিক যত সংখ্যা পর্যন্ত গুণতে পারে, তাকে কাউন্টার মোড নাম্বার বলে।

খ) ২ চলকের জন্য ডি-মরগ্যানের ১ম উপপাদ্যটি সার্কিটের মাধ্যমে দেখানো হলো:
১ম উপপাদ্য: দুই বা ততোধিক বুলিয়ান চলকের যোগফলের পূরক ঐ চলকগুলোর পূরকের গুণফলের সমান।
A ও B বুলিয়ান চলক হলো


গ) উদ্দীপকের বর্তনীটি দ্বারা হাফ অ্যাডারকে ইঙ্গিত করা হচ্ছে। সাধারণত দুই বিট যোগ করার জন্য যে সমন্বিত বর্তনী ব্যবহৃত হয় তাকে হাফ অ্যাডার বলে। নিম্নে হাফ অ্যাডার বর্তনীটি NOR গেইট দ্বারা বাস্তবায়ন করে দেখানো হলো।


অতএব লজিক সার্কিটটি দাড়ায়,


ঘ) উদ্দীপকের বর্তনীটিতে একটি ইনপুটের সংখ্যা বৃদ্ধি করলে নতুন যে বর্তনীটি তৈরি হয় তা হচ্ছে ফুল অ্যাডার এবং পূর্বের বর্তনীর অর্থাৎ হাফ অ্যাডার দ্বারা নতুন বর্তনীকে বাস্তবায়ন করা সম্ভব। সেক্ষেত্রে দুটি হাফ অ্যাডারকে যুক্ত করলেই একটি ফুল অ্যাডার পাওয়া সম্ভব। নিম্নে তা বাস্তবায়ন করা হলো।







চিত্র: হাফ অ্যাডারের সাহায্যে ফুল অ্যাডার বাস্তবায়নের লজিক সার্কিট।



দ্বিতীয় হাফ অ্যাডারের দুটি ইনপুট হলো S₁ এবং C_i এদের সাম S₂ এবং ক্যারি C₂।
.’. দ্বিতীয় হাফ অ্যাডারের ক্ষেত্রে,


এর মানের সমান।
কারণ C_o = C₂ + C₁

অতএব আমরা দেখলাম যে, দুটি হাফ অ্যাডার যোগ করে যে S₂ এবং C_o এর মান পাওয়া গেলো তা ফুল অ্যাডার এর মানের সাথে মিলে যায়। অতএব বলা যায় যে দুটি হাফ অ্যাডার যোগ করলে একটি ফুল অ্যাডার পাওয়া যায়।